Question

定義在定義域D內的函數y=f（x），若對任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則稱函數y=f（x）為“媽祖函數”，否則稱“非媽祖函數”．試問函數f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否為“媽祖函數”？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

因為|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|，
函數f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]導數是f′（x）=3x²-1
當3x²-1=0時，即x=±

3

3

，當0＜x＜

3

3

時，f′（x）=3x²-1＜0，當x＞

3

3

時，
f′（x）=3x²-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]內的極小值是a-

2 3

9

，同理，
f（x）在[-1，0]內的極大值是a+

2 3

9

，因為f（1）=f（-1）=a，
所以函數f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]的最大值是a+

2 3

9

，最小值是a-

2 3

9

，
故|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|=

4 3

9

＜1
所以函數f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是“媽祖函數”．（2分）