Question

給出函數封閉的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值f（x₀）∈D，則稱函數y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷下列函數中哪些在D₁上封閉（寫出推理過程）：f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-

1

2

x2-

1

2

x+1，f₃（x）=2^x-1；
（2）若定義域D₂=（1，2），是否存在實數a，使得函數f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的值，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據定義域，求得函數的定義域，利用新定義，即可得到結論；
（2）分類討論，確定函數的單調性，建立不等式組，可求a的值．

解答：解：（1）對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值f₁（x₀）∈（-1，1）∉D₁，
故函數f₁（x）=2x-1在D₁上不封閉；
同理，f₂（x）=-

1

2

x2-

1

2

x+1=-

1

2

(x+

1

2

)2+

7

8

∈（0，1）；f₃（x）=2^x-1∈（0，1），故在D₁上封閉；
（2）f（x）=

5x-a

x+2

，對稱中心為（-2，5）
當a+10＞0時，函數f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上為增函數，只需

f(1)≥1 f(2)≤2 a＞-10

，∴a=2
當a+10＜0時，函數f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上為減函數，只需

f(1)≤2 f(2)≥1 a＜-10

，∴a∈∅
綜上，所求a的值等于2．

點評：本題以新定義函數為載體，考查新定義，考查學生的計算能力，關鍵是對新定義的理解，有一定的難度．