Question

【題目】已知函數.

（1）若恒成立，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，有兩個不同的零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析

【解析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，根據函數單調性得到，解得答案.

（2）要證明，只需要證明，設，求導得到單調性，得到，得到證明.

（1）由已知得函數的定義域為，且，

當時，，在上單調遞增，

且當時，，不合題意；

當時，由得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，在處取到極小值，也是最小值，由題意，恒成立，

令，，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，所以，即.

（2），且在處取到極小值1，

又時，，時，，故且，

要證明：，只需證明，又，

故只需證明：，即證：，

即證：，即證：，

設，則，

因為，所以，由（1）知恒成立，

所以，即，

所以在上為增函數，所以，即命題成立.