Question

【題目】如圖，A是橢圓的左頂點，點P，Q在橢圓上且均在x軸上方.

（1）若直線AP與OP垂直，求點P的坐標；

（2）若直線AP，AQ的斜率之積為，求直線PQ的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）設P的坐標，可得向量OP，AP的坐標，由向量垂直的條件：數量積為0，結合P的坐標滿足橢圓方程，解方程可得P的坐標；

（2）設出AP，AQ的斜率，以及直線AP，AQ的方程，聯立橢圓方程，運用韋達定理，求得P，Q的坐標，和直線PQ的斜率，結合基本不等式可得所求范圍．

（1）設，

則，

因為直線AP與OP垂直，

所以，即，

得 ①

又點P在橢圓上，所以②

由①②得或-2（舍去），代入②得，

因為點P在x軸上方，所以.

（2）由于直線AP，AQ的斜率之積為，點P，Q在橢圓上且均在x軸上方.

所以可設直線AP，AQ的斜率分別為，則，

所以直線AP的方程為，

聯立得，

設，

則，即，

同理可得，.

所以直線PQ的斜率為

因為，

所以，注意到，點P，Q不重合，所以等號不成立，

所以，

所以直線PQ的斜率的取值范圍為