Question

【題目】已知函數(shù)， 且.
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

Answer 1

【答案】(1) (2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.

【解析】試題分析：（1）欲求實(shí)數(shù)a的值，只須求出切線斜率的值列出關(guān)于a的等式即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用斜率為0即可求得a；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的最小值.

試題解析：

由題意得：

；

(1) 由曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即 ，解得；

(2) 設(shè)，則只需求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值.

令，解得或，而，即.

從而函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)， ；

當(dāng)，即 時(shí)，函數(shù)的極小值即為其在區(qū)間上的最小值， .

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.