Question

【題目】已知 ，且方程 無(wú)實(shí)數(shù)根，下列命題：

（1）方程 一定有實(shí)數(shù)根；

（2）若 ，則不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù) 都成立；

（3）若 ，則必存在實(shí)數(shù) ，使 ；

（4）若 ，則不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù) 都成立．

其中，正確命題的序號(hào)是________________．（把你認(rèn)為正確的命題的所有序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】（2）（4）

【解析】∵由函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無(wú)實(shí)數(shù)根，
即y=ax2+bx+c與y=x的圖象無(wú)交點(diǎn)，
∴（1）函數(shù)y=f[f（x）]與y=x的圖象無(wú)交點(diǎn)，即方程f[f（x）]=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，（1）錯(cuò)誤；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開(kāi)口向上，與y=x無(wú)交點(diǎn)，
∴f（x）的圖象在y=x圖象的上方，
∴不等式f[f（x）]＞x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，（2）正確；
（3）同理，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在y=x的下方，
f[f（x）]＜x恒成立，∴（3）錯(cuò)誤；
（4）當(dāng)a+b+c=0時(shí)，f（1）=0，結(jié)合題意知a＜0，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在y=x的下方，
不等式f[f（x）]＜x對(duì)一切x都成立，∴（4）正確．
綜上，正確的答案為（2）（4）．
故答案為（2）（4）