Question

（2013•安慶三模）已知數列{a_n}滿足a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=a，
（1）當a=-

7

5

時，求出數列{a_n}的所有項；
（2）當a=1時，設b_n=|an-

2

|，證明：b_n+1＜b_n；
（3）設（2）中的數列{b_n}的前n項和為S_n，證明：S_n＜

2

．

Answer 1

分析：（1）將a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=-

7

5

，逐項代入，可分別求出數列{a_n}的前3項，結合a₃=-1時，使遞推式右邊的分母為零，可得數列只有這三項；
（2）由a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=1可得a_n≥1，進而可得b_n+1=

2 -1

an+1

b_n≤

2 -1

2

b_n＜b_n；
（3）由（2）中a_n≥1，可得b_n≤（

1

2

）^n-1b₁，進而利用放縮法，證得S_n＜

2

．

解答：證明：（1）∵a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=-

7

5

，
∴a₂=

- 7 5 +2

- 7 5 +1

=-

3

2

，
a₃=

- 3 2 +2

- 3 2 +1

=-1，
由于當a₃=-1時，使遞推式右邊的分母為零．
∴數列{a_n}只有三項：a₁=-

7

5

，a₂=-

3

2

，a₃=-1…（3分）
（2）∵a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=1易知：a_n＞0，
又a_n+1=

an+2

an+1

=1+

1

an+1

＞1，
∴a_n≥1                                                      …（5分）
由a_n+1=

an+2

an+1

⇒a_n+1-

2

=

an+2

an+1

-

2

=

1- 2

an+1

（an-

2

）
∴|a_n+1-

2

|=|

1- 2

an+1

||an-

2

|
∴b_n+1=|

1- 2

an+1

|b_n；
∴b_n+1=

2 -1

an+1

b_n≤

2 -1

2

b_n＜b_n；
即b_n+1＜b_n；                                                  …（8分）
（3）由（2）知：a_n≥1，
∴b_n+1=

2 -1

an+1

b_n≤

2 -1

2

b_n＜

1

2

b_n＜（

1

2

）²b_n-1＜…＜（

1

2

）ⁿb₁，
∵b₁=

2

-1，
∴b_n≤（

1

2

）^n-1b₁=（

2

-1）（

1

2

）^n-1，…（11分）
∴S_n＜（

2

-1）[1+

1

2

+…+（

1

2

）^n-1]=（

2

-1）×2×[1-（

1

2

）ⁿ]＜2（

2

-1）＜

2

，
∴S_n＜

2

                                                   …（13分）

點評：本題考查的知識點是數列的遞推公式，數列求和，數列與不等式的綜合應用，綜合性強，運算強度大，屬于難題．