Question

設雙曲線．
（1）確定實數a的取值范圍；
（2）若點P在雙曲線C上，F₁、F₂是兩個焦點，PF₂與雙曲線實軸所在直線垂直，且△F₁PF₂的面積為6，求實數a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，建立關于a的不等式：（a²-4）a²＜0，解之即可得到實數a的取值范圍；
（2）由（1）將雙曲線方程化成標準形式，即可算出雙曲線的焦點坐標．從而可設點P（x₁，2），結合雙曲線方程算出橫坐標x₁關于a的表達式，最后根據△F₁PF₂的面積為6建立關于a的方程，解之即可得到實數a的值．
解答：解：（1）由題意，可得
∵方程表示雙曲線，
∴（a²-4）a²＜0，解之得0＜a＜2，
因此，實數a的取值范圍是（0，2）．
（2）由（1），可知雙曲線的標準方程為，
∴c==2，
可得雙曲線的兩個焦點分別為F₁（0，-2）、F₂（0，2），
因為PF₂與雙曲線實軸所在直線垂直，設點P（x₁，2），
可得，即，
∴=6，
∵|F₁F₂|=4，
∴代入上式，可得，解之得a=1．
點評：本題給出雙曲線，在已知△F₁PF₂的面積為6的情況下求實數a的值．著重考查了雙曲線的標準方程、基本概念與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．