Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=kS_n+2，又a₁=2，a₂=4
（1）求k的值及通項a_n
（2）若b_n=log₂a_n，試求所有正整數m，使

bm+1bm+2

bm

為數列{S_n}中的項．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，將a₁=2，a₂=4，代入上式，得k=2；當n≥2時，能推導出a_n+1=2a_n，由此能導出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=log₂a_n=n，知S_n=2ⁿ⁺¹-2，所以

bm+1bm+2

bm

=

(m+1)(m+2)

m

=m+

2

m

+3，由此能求出求所有正整數m，使

bm+1bm+2

bm

為數列{S_n}中的項．

解答：解：（1）當n=1時，S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，將a₁=2，a₂=4
代入上式，得k=2；（2分）
當n≥2時，

Sn+1=2Sn+2(1) Sn=2Sn-1+2(2)

（1）-（2）得a_n+1=2a_n（4分）
又因為

a2

a1

=2，所以a_n為首項為2，公比為2的等比數列，（6分）
所以a_n=2ⁿ．（7分）
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n，S_n=2ⁿ⁺¹-2（9分）
則

bm+1bm+2

bm

=

(m+1)(m+2)

m

=m+

2

m

+3（10分）
因為m∈N⁺，S_n∈N⁺，所以m∈1，2，當m=1時m+

2

m

+3=6=S2，
當m=2時m+

2

m

+3=6=S2，所以m=1或m=2（14分）

點評：本題考查數列的通項公式和利用數列知識求解實際問題，解題時要認真審題，注意數列性質的合理運用．