Question

(本題滿分14分)

曲線C上任一點(diǎn)到點(diǎn)，的距離的和為12， C與x軸的負(fù)半軸、正半軸依次交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且位于x軸上方，．

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅲ）以曲線C的中心為圓心，AB為直徑作圓O，過(guò)點(diǎn)P的直線l截圓O的弦MN長(zhǎng)為，求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)G是曲線C上任一點(diǎn)，依題意，    ………… 1分

∴曲線C是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且橢圓的長(zhǎng)半軸a=6，半焦距c=4，

∴短半軸b=， ………………………………………………………… 3分

∴所求的橢圓方程為；……………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由已知,，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則

由已知得 …………………… 6分

則，解之得，………………………………………… 7分

由于，所以只能取，于是，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為；………………………………………………………… 8分

（Ⅲ）圓O的圓心為（0，0），半徑為6，其方程為，………………… 9分

若過(guò)P的直線l與x軸垂直，則直線l的方程為，這時(shí)，圓心到l的距離，

∴，符合題意；…………………… 10分

若過(guò)P的直線l不與x軸垂直，設(shè)其斜率為k，則直線l的方程為，

即，這時(shí)，圓心到l的距離 

∴，…………………………… 12分

化簡(jiǎn)得，，∴，

∴直線l的方程為，         ……………………………… 13分

綜上，所求的直線l的方程為或     ……………… 14分