Question

經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出t該產品獲利潤元，未售出的產品，每t虧損元。根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示。經銷商為下一個銷售季度購進了t該農產品，以（單位：t，）表示下一個銷售季度內的市場需求量，(單位：元)表示下一個銷售季度內銷商該農產品的利潤。

（1）將表示為的函數；
（2）根據直方圖估計利潤不少于57000元的概率；
（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率（例如：若，則取，且的概率等于需求量落入的概率），求利潤的數學期望.

Answer 1

(1)；(2) 0.7.
(3)T的分布列為：

T	45 000	53 000	61 000	65 000
P	0.1	0.2	0.3	0.4

.

解析試題分析：(1)當X<130時，會有一部分損失，而X>130，故以130為界分兩種情況分別求出利潤T與X的關系式.(2)利用(1)所得解析式及利潤T不少于57 000元，解不等式即可得X的范圍.再根據頻率分布直方圖便可得下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值.(3)據題意，X取105、115、125、135、145這5個值，再根據直方圖得，，，再利用（1）題所得函數式可得相應的利潤及其對應的概率，從而得分布列及期望.
試題解析：(1)當X∈[100,130)時，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，
當X∈[130,150]時，T＝500×130＝65 000.
所以
(2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150.
由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.30+0.25+0.15=0.7，所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.
(3)依題意可得T的分布列為：

T	45 000	53 000	61 000	65 000
P	0.1	0.2	0.3	0.4

所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59400.
考點：1、函數的應用；2、頻率分布直方圖及概率；3、隨機變量的分布列及期望.