Question

已知向量

a

=(cosθ， sinθ)， θ∈[0， π]， 

b

=(

3

， -1)．若|2

a

-

b

|＜m恒成立則實數m的取值范圍是（　　）

A．[4，+∞）

B．（4，+∞）

C．（2，+∞）

D．（4，10）

Answer 1

分析：由條件利用兩個向量的數量積公式，三角函數的恒等變換，化簡|2

a

-

b

|的解析式為

8-8cos(θ+ π 6 )

，再根據θ∈[0，π]，利用余弦函數的定義域和值域求得|2

a

-

b

|的最大值，可得m的范圍．

解答：解：由題意可得，|2

a

-

b

|=

(2 a - b )2

=

4 a 2-4 a • b + b 2

=

4-4( 3 cosθ-sinθ)+4

=

8-8( 3 2 cosθ- 1 2 sinθ)

=

8-8cos(θ+ π 6 )

．
∵θ∈[0，π]，∴θ+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴cos（θ+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，
∴|2

a

-

b

|的最大值為4．
若|2

a

-

b

|＜m恒成立，則 m＞4，
故選：B．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，三角函數的恒等變換，余弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．