Question

設函數f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜c的解集為{x|-1＜x＜2}．
（1）求b的值；
（2）解關于x的不等式（4x+m）f（x）＞0（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）解絕對值不等式|f（x）|＜c，結合不等式|f（x）|＜c的解集為{x|-1＜x＜2}．我們可以構造關于b，c的方程組，解方程組即可得到b的值；
（2）由于不等式中含有參數m，故我們要對參數m進行分類討論，分m=-2，m＞-2，m＜-2三種情況進行討論，最后綜合討論結果即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=-4x+b
∴|f（x）|＜c的解集為{x|

b-c

4

＜x＜

b+c

4

}
又∵不等式|f（x）|＜c的解集為{x|-1＜x＜2}．
∴

b-c 4 =-1 b+c 4 =2

解得：b=2
（2）由（1）得f（x）=-4x+2
若m=-2
則（4x+m）f（x）=（4x-2）（-4x+2）≤0恒成立
此時不等式（4x+m）f（x）＞0的解集為∅
若m＞-2
則-

m

4

＜

1

2

則（4x+m）f（x）＞0的解集為（-

m

4

，

1

2

）
若m＜-2
則-

m

4

＞

1

2

則（4x+m）f（x）＞0的解集為（

1

2

，-

m

4

）

點評：本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，一元二次不等式的應用，其中（1）的關鍵是解絕對值不等式并根據已知構造關于b，c的方程組，（2）的關鍵是對參數m分m=-2，m＞-2，m＜-2三種情況進行討論．