Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點（起點）向A點（終點）移動，設P點移動的路程為x，△ABP的面積為y=f（x）．
（1）求△ABP的面積與P移動的路程間的函數關系式；
（2）作出函數的圖象，并根據圖象求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出定義域，然后根據點P的位置進行分類討論，根據三角形的面積公式求出每一段△ABP的面積與P移動的路程間的函數關系式，最后用分段函數進行表示即可；
（2）根據每一段的函數解析式畫出每一段的函數圖象，結合函數圖象即可求出函數的最大值．

解答：解：（1）由于x=0與x=12時，三點A、B、P不能構成三角形，故這個函數的定義域為（0，12）．
當0＜x≤4時，S=f（x）=

1

2

•4•x=2x；
當4＜x≤8時，S=f（x）=8；
當8＜x＜12時，S=f（x）=

1

2

•4•（12-x）=2（12-x）=24-2x．
∴這個函數的解析式為
f（x）=

2x x∈(0，4] 8 x∈(4，8] 24-2x x∈(8，12).

（2）其圖形為右上圖，由圖知，[f（x）]_max=8．

點評：本題主要考查了函數解析式的求解，以及分段函數的圖象等有關基礎知識，分類討論的數學思想，屬于基礎題．