Question

（2013•資陽模擬）如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內（含邊界）的動點，設向量

AP

=m

AB

+n

AF

（m，n為實數），則m+n的取值范圍是（　　）

A．（1，3]

B．[2，4]

C．[3，4]

D．[1，5]

Answer 1

分析：如圖所示，連接AD交CE于點M，由正六邊形的性質可得點M為CE的中點．分類討論：利用向量的加法和共線定理可得：①

AP

=

AD

時，m+n=4．②

AP

=

AM

及點P位于線段CE上時，m+n=3．③除了①、②的情況滿足3＜m+n＜4，．綜上可得：3≤m+n≤4．

解答：解：如圖所示，連接AD交CE于點M，由正六邊形的性質可得點M為CE的中點．
①

AD

=

AB

+

BC

+

CD

，

CD

=

AF

，

BC

=

1

2

AD

，∴

AD

=

AB

+

1

2

AD

+

AF

，化為

AD

=2

AB

+2

AF

，
與向量

AP

=m

AB

+n

AF

（m，n為實數）比較可得：m+n=4．
②

AM

=

AB

+

BC

+

CM

=

AF

+

FE

+

EM

，又

BC

=

FE

，

CM

+

EM

=

0

．
∴2

AM

=

AB

+

AF

+2

BC

，又

BC

=

2

3

AM

，
∴

2

3

AM

=

AB

+

AF

，即

AM

=

3

2

AB

+

3

2

AF

，∴此時m+n=3．
③當點P位于線段CE上時，記作Q，則

AQ

=

AP

=

AM

+

MP

=

AM

+λ

EC

=

AM

+λ

FB

=

AM

+λ(

AB

-

AF

)，此時m+n=3．
④當點P不在線段CE上時，

AP

=

AQ

+

QP

=

AQ

+λ

AQ

=(1+λ)

AQ

（

4

3

≥1+λ＞1）．
∴3＜（1+λ）（m+n）≤4．
綜上可得：3≤m+n≤4．
故選C．

點評：本題考查了正六邊形的性質、向量的加法和共線定理、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．