Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)中，設(shè)橢圓的左右兩個焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓相交，其中一個交點(diǎn)為.

(1)求橢圓的方程；

(2>已知經(jīng)過點(diǎn)且斜率為直線與橢圓有兩個不同的和交點(diǎn),請問是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) （2）不存在常數(shù)，使得向量與共線．

【解析】試題分析：(1)由過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓相交，其中一個交點(diǎn)為 ，可得 ，再根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理列方程求得 從而得 ，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，可得，由，解得， 與共線等價(jià)于，根據(jù)韋達(dá)定理以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得關(guān)于的方程，解得，從而可得結(jié)論.

試題解析：(1)由橢圓定義可知.

由題意,.

又由△可知 ，,，

又，得.

橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程，得．

整理，得 ①

因?yàn)橹本�與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)和等價(jià)于，

解得．

設(shè),則＝,

由①得 ②

又③

因?yàn)?/span>， 所以．

所以與共線等價(jià)于．

將②③代入上式，解得．

因?yàn)?/span>

所以不存在常數(shù)，使得向量與共線．