Question

在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足=．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，三角形ABC的面符號為S，求S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵=（2b-c，cosC），=（a，cosA），且∥，
∴（2b-c）cosA-accosC=0，
∴（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
在三角形ABC中，sinB＞0，
∴cosA=，故A=；
（2）∵A=，a=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²-bc…8′
∴16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc（當且僅當b=c時取等號），
∴S=bcsinA≤×16×=4，
分析：（1）利用向量共線的坐標運算可求得（2b-c）cosA-accosC=0，再利用正弦定理可求得cosA=，從而可求得角A的大小；
（2）依題意，利用余弦定理與基本不等式可求得bc≤16，由三角形的面積公式即可求得△ABC的面積S的最大值．
點評：本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，考查余弦定理與基本不等式及三角形的面積公式，考查向量共線的坐標運算，屬于中檔題．