Question

如圖，已知海島A與海岸公路BC的距離為50km，B、C間的距離為100km，從A到C，先乘船，船速為25km/h，再乘汽車，車速為50km/h．設登陸點在D處，從A到C所用的時間為y（單位：h）．
（1）按下列要求建立函數關系：①設∠BAD=θ（rad），將y表示為θ的函數；②設BD=x（km），將y表示為x的函數．
（2）請選用（1）中的一個函數關系，確定登陸點D的位置，使從A到C所用時間最少？并求出所用的最少時間．

Answer 1

分析：（1）①用θ表示出AD與BD，從而可以表示出DC，由路程除以速度得時間，建立起時間關于θ函數即可；
②設BD=x（km），可用公股定理求出AD，再由BC=100，用x表示出DC，由路程除以速度得時間，建立起時間關于x函數即可；
（2）選①，對函數進行求導研究函數的單調性，借助三角函數的性質可得出當當θ=

π

6

時，用時最少，代入函數關系式求出最值即可．
選②對函數求導，研究出函數的單調性確定出當x=

50 3

3

時，用時最少，求出x=

50 3

3

時的函數值即可，

解答：解：（1）①在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50tanθ，AD=

50

cosθ

，∴DC=100-BD=100-50tanθ．
∴y=

AD

25

+

DC

50

=

2

cosθ

+2-tanθ=

2+2cosθ-sinθ

cosθ

(0≤θ≤α，其中tanα=2，α∈[0，

π

2

))…（4分）

②在Rt△ABD中，DC=100-x，AD=

x2+502

，
∴y=

AD

25

+

DC

50

=

1

25

x2+2500

+2-

x

50

(0≤x≤100)．…．（8分）
注：定義域不寫或寫錯扣（1分）
（2）①y′=

2sinθ-1

cos2θ

，…．（10分）
當0＜θ＜

π

6

時，y'＜0，∴函數y在(0，

π

6

)單調遞減；
當

π

6

＜θ＜α，tanα=2，α∈[0，

π

2

)時，y'＞0，
∴函數y在（0，α）單調遞增…．（12分）
∴當θ=

π

6

時，ymin=

2+2cos π 6 -sin π 6

cos π 6

=2+

3．

…．（13分）
此時BD=50tan

π

6

=

50 3

3

．…．（14分）
答：當BD=

50 3

3

km時，從A到C所用時間最少為(2+

3

)h．…．（15分）
②y′=

x

25 x2+2500

-

1

50

=

2x- x2+2500

50 x2+2500

．…．（10分）
當0＜x＜

50

3

時，y'＜0，∴函數y在(0，

50

3

)單調遞減；
當

50

3

＜x＜100時，函數在(

50

3

，100)單調遞增…．（12分）
∴當x=

50 3

3

時，ymin=2+

3．

．…（14分）
答：當BD=

50 3

3

km時，從A到C所用時間最少為(2+

3

)h…．（15分）

點評：本題考查在實際問題中建立三角函數模型，應用三角函數模型求解用時最少的問題，求解本題的關鍵是對問題進行細致分析得出符合條件的函數模型，本題在求最值時用到了導數研究單調性，用導數研究函數的單調性是一個非常方便的工具，遇到判斷函數的單調性的問題時不妨優先考慮一下用導數．本題符號較多，運算較繁，極易出錯，做題時要認真嚴謹．