Question

設是數列的前項和，對任意都有成立， (其中、、是常數)．

（1）當，，時，求；

（2）當，，時，

①若，，求數列的通項公式；

②設數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“數列”.

如果，試問：是否存在數列為“數列”，使得對任意，都有

，且．若存在，求數列的首項的所

有取值構成的集合；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)=；(2)①；②存在，首項的所有取值構成的集合為.

【解析】

試題分析：(1)要求，大多數時候要先求，本題實質就是有關系式，那么我們可以用代得，兩式相減，可得出與的關系，本題正好得到數列是等比數列，故易求得和；(2) 實質上的關系式是，這讓我們聯想到數列是等差數列，這里難點就在于證明是等差數列，證明方法是把等式中的用換得到一個式子，兩式相減可得，此式中含有常數，故再一次用代換此式中的，兩式相減可消去得數列的連續三項的關系，可證得是等差數列，那么這里①的通項公式易求；對于②這類問題總是假設存在，然后去求，假設存在時，可知數列公差是2，即，由于它是“數列”，故任意兩項和還是數列中的項，即，可得是偶數，又由，得，娵，從而，下面對的值一一驗證是否符合已知條件，

試題解析：（1）當，，時，由得

                        ①

 用去代得，，   ②

 ②—①得，，，

 在①中令得，，則0，∴，

∴數列是以首項為1，公比為3的等比數列，

∴=

（2）當，，時，

，                           ③

用去代得，，  ④

④—③得，       ，      ⑤

用去代得，，       ⑥

⑥—⑤得，，即，

∴數列是等差數列.∵，，

∴公差，∴

易知數列是等差數列，∵，∴.

又是“數列”，得：對任意，必存在使

，

得，故是偶數，

又由已知，，故

一方面，當時，，對任意，

都有

另一方面，當時，，，

則，

取，則，不合題意.

當時，，，則

，

當時，，，

，

又，∴或或或

所以，首項的所有取值構成的集合為

（其他解法,可根據【解】的評分標準給分）

考點：(1)已知與的關系，求和；(2)等差數列的通項公式，前項和.