分析：解法一（Ⅰ）設AB中點為D，AD中點為O，連接OC，OP，CD．可以證出∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．不妨設PA=2，則OD=1，OP=
，AB=4．在RT△OCP中求解．
（Ⅱ）以O為原點，建立空間直角坐標系，利用平面APC的一個法向量與面ABP的一個法向量求解．
解法二（Ⅰ）設AB中點為D，連接CD．以O為坐標原點，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O-xyz．利用
與平面ABC的一個法向量夾角求解．
（Ⅱ）分別求出平面APC，平面ABP的一個法向量，利用兩法向量夾角求解．
解答：
解法一
（Ⅰ）設AB中點為D，AD中點為O，連接OC，OP，CD．
因為AB=BC=CA，所以CD⊥AB，
因為∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD為等邊三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．
PO⊥平面ABC，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角
不妨設PA=2，則OD=1，OP=
，AB=4．
所以CD=2
，OC=
=
=
在RT△OCP中，tan∠OCP=
=
=
．
故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan
．
（Ⅱ）過D作DE⊥AP于E，連接CE．
由已知，可得CD⊥平面PAB．根據三垂線定理知，CE⊥PA．所以∠CED為二面角
B-AP-C的平面角．由（Ⅰ）知，DE=
，在RT△CDE中，tan∠CED=
=
=2，故二面角B-AP-C的大小為arctan2．
解法二：（Ⅰ）設AB中點為D，連接CD．因為O在AB上，且O為P在平面ABC內的射影，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因為AB=BC=CA，所以CD⊥AB，設E為AC中點，則EO∥CD，從而OE⊥PO，OE⊥AB．
如圖，以O為坐標原點，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O-xyz．不妨設PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=
，
CD=2
，所以O（0，0，0），A（-1，0，0），C（1，2
，0），P（0，0，
），所以
=（-1，-2
，
）
=（0，0，
）為平面ABC的一個法向量．
設α為直線PC與平面ABC所成的角，則sinα=
||=
=
．故直線PC與平面ABC所成的角大小為arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=（1，0，
），
=（2，2
，0）．
設平面APC的一個法向量為
=（x，y，z），則由
得出
即
，
取x=-
，則y=1，z=1，所以
=（-
，1，1）．設二面角B-AP-C的平面角為β，易知β為銳角．
而面ABP的一個法向量為
=（0，1，0），則cosβ=
||=
||=
．
故二面角B-AP-C的大小為arccos
．
（2012•四川）如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．
（2012•四川）如圖，動點M到兩定點A（-1，0）、B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C．
（2012•四川）如圖，半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內，過點O作平面α的垂線交半球面于點A，過圓O的直徑CD作平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點為B，該交線上的一點P滿足∠BOP=60°，則A、P兩點間的球面距離為（ ）
（2012•四川）如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，點P在平面ABC內的射影O在AB上．
（2012•四川）如圖，動點M與兩定點A（-1，0）、B（1，0）構成△MAB，且直線MA、MB的斜率之積為4，設動點M的軌跡為C．
（2012•四川）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是CD、CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是