Question

（2012•四川）如圖，半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內，過點O作平面α的垂線交半球面于點A，過圓O的直徑CD作平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點為B，該交線上的一點P滿足∠BOP=60°，則A、P兩點間的球面距離為（　　）

• A．Rarccos

  2

  4

• B．

  πR

  4

• C．Rarccos

  3

  3

• D．

  πR

  3

Answer 1

分析：由題意求出AP的距離，然后求出∠AOP，即可求解A、P兩點間的球面距離．

解答：解：半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內，過點O作平面α的垂線交半球面于點A，過圓O的直徑CD作平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點為B，所以CD⊥平面AOB，
因為∠BOP=60°，所以△OPB為正三角形，P到BO的距離為PE=

3

2

R，E為BQ的中點，AE=

R2+( R 2 )2-2AO•OEcos45°

=

5-2 2 4

R，
AP=

( 3 2 R)2+( 5-2 2 4 R)2

=

8-2 2

2

R，
AP²=OP²+OA²-2OP•OAcos∠AOP，

8-2 2

4

R2=R2+R2-2R2cos∠AOP，
cos∠AOP=

2

4

，∠AOP=arccos

2

4

，
A、P兩點間的球面距離為Rarccos

2

4

，
故選A．

點評：本題考查反三角函數的運用，球面距離及相關計算，考查計算能力以及空間想象能力．