Question

設n為正整數，已知P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，p_n（a_n，b_n），…都在函數y=(

1

2

)x的圖象上．其中數列{a_n}是首項、公差都為1的等差數列，數列{c_n}的通項為c_n=a_nb_n
（1）證明：數列{b_n}是等比數列，并求出公比；
（2）求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由點在圖象上，則有 bn=(

1

2

)an，由等比數列的定義，則有

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d從而得到結論．
（2）有a_n=n，bn=(

1

2

)n，得cn=n•(

1

2

)n，Sn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，再由錯位相減法能夠求出數列{c_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵數列{a_n}是首項、公差都為1的等差數列，
由已知 bn=(

1

2

)an=(

1

2

)n，
所以，

bn+1

bn

=

( 1 2 )n+1

( 1 2 )n

=

1

2

，
所以，數列{b_n}是等比數列．
（2）∵a_n=n，bn=(

1

2

)n，
∴cn=n•(

1

2

)n，
∴Sn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，
 

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1，
∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+1
=1-(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1，
∴Sn=2-(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n．

點評：本題主要考查函數與數列的綜合運用，主要涉及了點與曲線的關系，數列的定義，及錯位相減求和法的應用．