Question

設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm²,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？
如果要求λ∈［］，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小？

Answer 1

畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小. 如果要求λ∈［］,當(dāng)λ=時，所用紙張面積最小。 

設(shè)畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx²=4840,設(shè)紙張面積為S cm²,
則S=(x+16)(λx+10)=λx²+(16λ+10)x+160,
將x=代入上式得 S=5000+44 (8+),
當(dāng)8=,即λ=<1)時S取得最小值.
此時高: x=="88" cm,　寬 λx=×88="55" cm.
如果λ∈［］，可設(shè)≤λ₁<λ₂≤,
則由S的表達(dá)式得：

又≥,故8－>0,
∴S(λ₁)－S(λ₂)<0,∴S(λ)在區(qū)間［］內(nèi)單調(diào)遞增。
從而對于λ∈［］,當(dāng)λ=時，S(λ)取得最小值。
答:畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小. 如果要求λ∈［］,當(dāng)λ=時，所用紙張面積最小。