Question

已知是由滿足下述條件的函數構成的集合：對任意，
① 方程有實數根；② 函數的導數滿足．
（Ⅰ）判斷函數是否是集合中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質：若的定義域為，則對于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質證明：方程有且只有一個實數根；
（Ⅲ）對任意，且，求證：對于定義域中任意的，，，當，且時，

Answer 1

（Ⅰ）函數是集合中的元素.
（Ⅱ）方程有且只有一個實數根.
（Ⅲ）對于任意符合條件的,總有成立.

試題分析：（Ⅰ）因為①當時，，
所以方程有實數根0；
②，
所以，滿足條件；
由①②，函數是集合中的元素.            5分
（Ⅱ）假設方程存在兩個實數根，，
則，.
不妨設，根據題意存在，
滿足.
因為，，且，所以.
與已知矛盾.又有實數根，
所以方程有且只有一個實數根.                     10分
（Ⅲ）當時，結論顯然成立；                   11分
當，不妨設.
因為,且所以為增函數，那么.
又因為，所以函數為減函數，
所以.
所以，即.
因為，所以， （1）
又因為，所以， （2）
（1）（2）得即.
所以.
綜上，對于任意符合條件的,總有成立.  14分
點評：綜合題，本題綜合性較強，難度較大。證明方程只有一個實根，可通過構造函數，研究其單調性實現，本解法運用的是反證法。由自變量取值，且，確定函數值的關系，關鍵是如何實現兩者的有機轉換。