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對于定義在集合D上的函數y=f（x），若f（x）在D上具有單調性且存在區間[a，b]⊆D（其中a＜b）使當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a，b]，則稱函數f（x）是D上的“正函數”，區間[a，b]稱為f（x）的“等域區間”．
（1）已知函數f（x）=x³是正函數，試求f（x）的所有等域區間；
（2）若 $數學公式$ 是正函數，試求實數k的取值范圍；
（3）是否存在實數a，b（a＜b＜1）使得函數 $數學公式$ 是[a，b]上的“正函數”？若存在，求出區間[a，b]，若不存在，說明理由．

解：（1）∵f′（x）=3x²≥0
∴f（x）=x³在R上是增函數
則x∈[a，b]時，f（x）的值域為[a³，b³]
又f（x）=x³是正函數
∴ $\text{[math]}$
故f（x）的等域區間有三個：[0，1]，[-1，0]，[-1，1]…
（2）∵ $\text{[math]}$ 在[-2，+∞）上是增函數
∴x∈[a，b]時，f（x）的值域為[g（a），g（b）]
若 $\text{[math]}$ 是正函數，則有 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
故方程 $\text{[math]}$ 有兩個不等的實根．…
即 $\text{[math]}$ 有兩個不等的實根
令 $\text{[math]}$
數形結合知： $\text{[math]}$ …
（3）假設存在區間[a，b]，使得x∈[a，b]時， $\text{[math]}$ 的值域為[a，b]，又0∉[a，b]故ab＞0
當a＜b＜0時， $\text{[math]}$ 在[a，b]上單增．
∴ $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的兩負根
又方程x²-x+1=0無解
故此時不存在…
當0＜a＜b＜1時， $\text{[math]}$ 在[a，b]上單減
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
故此時不存在…
綜上可知：不存在實數a＜b＜1使得f（x）的定義域和值域均為[a，b]…
分析：（1）根據導數符號可知f（x）=x³在R上是增函數，則x∈[a，b]時，f（x）的值域為[a³，b³]，最后根據f（x）=x³是正函數建立等式關系，解之即可求出所求；
（2） $\text{[math]}$ 在[-2，+∞）上是增函數，則x∈[a，b]時，f（x）的值域為[g（a），g（b）]，根據 $\text{[math]}$ 是正函數，建立等式關系，即 $\text{[math]}$ 有兩個不等的實根，數形結合即可求出k的范圍；
（3）假設存在區間[a，b]，使得x∈[a，b]時， $\text{[math]}$ 的值域為[a，b]，討論當a＜b＜0時與當0＜a＜b＜1時是否存在實數a、b即可．
點評：本題主要考查了函數值域的求解，以及利用函數的單調性求函數的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．

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對于定義在集合D上的函數y=f（x），若f（x）在D上具有單調性，且存在區間[a，b]⊆D，使當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a，b]，則稱函數f（x）是D上的正函數，區間[a，b]稱為f（x）的“等域區間”．已知函數f（x）=

是[0，+∞）上的正函數，則f（x）的等域區間為

[0，1]

．

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對于定義在集合D上的函數y=f（x），若f（x）在D上具有單調性，且存在區間[a，b]⊆D（其中a＜b），使當x∈[a，b]時，
f（x）的值域是[a，b]，則稱函數f（x）是D上的正函數，區間[a，b]稱為f（x）的“等域區間”．
（1）已知函數f(x)=

是[0，+∞）上的正函數，試求f（x）的等域區間．
（2）試探究是否存在實數k，使函數g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（1）已知函數f（x）=x³是正函數，試求f（x）的所有等域區間；
（2）若g(x)=

x+2

+k是正函數，試求實數k的取值范圍；
（3）是否存在實數a，b（a＜b＜1）使得函數f(x)=|1-

|是[a，b]上的“正函數”？若存在，求出區間[a，b]，若不存在，說明理由．

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對于定義在集合D上的函數y=f（x），若f（x）在D上具有單調性，且存在區間[a，b]⊆D（其中a＜b），使當x∈[a，b]時，
f（x）的值域是[a，b]，則稱函數f（x）是D上的正函數，區間[a，b]稱為f（x）的“等域區間”．
（1）已知函數

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