Question

對于定義在集合D上的函數y=f（x），若f（x）在D上具有單調性，且存在區間[a，b]⊆D（其中a＜b），使當x∈[a，b]時，
f（x）的值域是[a，b]，則稱函數f（x）是D上的正函數，區間[a，b]稱為f（x）的“等域區間”．
（1）已知函數是[0，+∞）上的正函數，試求f（x）的等域區間．
（2）試探究是否存在實數k，使函數g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為在[0，+∞）上是增函數，所以當x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，由此能求出f（x）的等域區間．
（2）設存在實數k，使函數g（x）=x²+k是（-∞，0）上為減函數．當x∈[a，b]時，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，若函數g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數，則．由此能夠導出存在實數，使函數g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數．
解答：解：（1）因為在[0，+∞）上是增函數
所以當x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，
又是[0，+∞）上的正函數
∴，
∴a=0，b=1，
∴f（x）的等域區間為[0，1]．…（4分）
（2）設存在實數k，使函數g（x）=x²+k是（-∞，0）上為減函數．
∴當x∈[a，b]時，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，
若函數g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數，
則，
即，
∵a≠b，∴a+b=-1即b=-a-1，
∵a＜b＜0即…（8分）
∴關于a的方程a²+a+k+1=0在區間內有實根，
由a²+a+k+1=0得k+1=-a²-a…（10分），
∵函數y=-a²-a在上為增函數，
∴當a∈時，…（12分）
∴即
故存在實數使函數g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函數…（14分）
點評：本題考查函數恒成立的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．