Question

已知△ABC的角A，B，C的對邊依次為a，b，c，若滿足

3

tanA•tanB-tanA-tanB=

3

，
（Ⅰ）求∠C大小；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC為銳角三角形，求a²+b²取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式變形后，利用兩角和與差的正切函數公式化簡，再利用誘導公式求出tanC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出∠C的度數；
（Ⅱ）由C的度數求出A+B的度數，用A表示出B，根據A與B都為銳角求出A的范圍，由c與sinC的值，利用正弦定理表示出a與b，將表示出的a，b及B代入所求式子中，和差化積后整理為一個角的正弦函數，由A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質求出正弦函數的值域，即可確定出所求式子的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵

3

tanA•tanB-tanA-tanB=

3

，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，即tan（A+B）=-tanC=-

3

，
∴tanC=

3

，
∵∠C為三角形的內角，
則∠C=

π

3

；
（II）∵∠A與∠B為銳角，且∠A+∠B=π-∠C=

2π

3

，即∠B=

2π

3

-∠A，
∴

π

6

＜∠A＜

π

2

，
∴

π

6

＜2∠A-

π

6

＜

5π

6

，
∵c=2，sinC=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

3 2

得：a=

4 3

3

sinA，b=

4 3

3

sinB，
∴a²+b²=

16

3

（sinA+sinB）=

16

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]=

16

3

+

8

3

sin（2A-

π

6

），
∵

π

6

＜2∠A-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（2A-

π

6

）≤1，即

20

3

＜

16

3

+

8

3

sin（2A-

π

6

）≤8，
則a²+b²的范圍為（

20

3

，8]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦定理，正弦函數的定義域與值域，以及兩角和與差的正切函數公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．