Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x₀，0）．證明-

a2-b2

a

＜x0＜

a2-b2

a

．

Answer 1

證明：設A、B的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x₁≠x₂．又交點為P（x₀，0），故|PA|=|PB|，即
（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²①
∵A、B在橢圓上，
∴

y

21

=b2-

b2

a2

x

21

，

y

22

=b2-

b2

a2

x

22

．
將上式代入①，得
2（x₂-x₁）x₀=(

x

22

-

x

21

)

a2-b2

a2

②
∵x₁≠x₂，可得x0=

x1+x2

2

•

a2-b2

a2

．③
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，
∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴-

a2-b2

a

＜x0＜

a2-b2

a

．