Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，且a_n=

n

n-1

a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^?）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

3n-1

an

 （n∈N^?），數列{b_n}的前n項和為S_n，試比較S₂與n的大小；
（3）令c_n=

an+1

n+1

 （n∈N^*），數列{

2cn

(cn-1)2

}的前n項和為T_n．求證：對任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

Answer 1

分析：第1問對條件式子兩邊同除以n，然后要用累加法可求出

an

n

，從而可求出a_n．
第2問有兩種方法：方法1先對n=1，2，3時對S2n與n進行比較，從而猜想出一個結論，然后對這個結論用數學歸納法進行證明；
方法2把S2n與n的差構造f(n)=S2n-n，然后利用f（n+1）-f（n）的結果正負判斷出f（n）的單調性．再通過n=1，2，3時，S2n-n的結果變化趨勢得出最后的結論．第3問先由a_n寫出c_n，然后先對

2cn

(cn-1)2

的用放縮法進行適當的放大，然后采用裂項法得出一個結果，然后再對T_n的除第一項以外的每一項按此進行放縮和裂項，運算之后很容易就看出與2的大小關系，就可以得出最后的證明結論．

解答：解：（1）由題an=

n

n-1

an-1+2n×3n-2知，

an

n

=

an-1

n-1

+2×3n-2，
由累加法，當n≥2時，

an

n

-

a1

1

=2+2×3+2×32++2×3n-2
代入a₁=1，得n≥2時，

an

n

=1+

2(1-3n-1)

1-3

=3n-1
又a₁=1，故a_n=n•3^n-1（n∈N^*）．
（2）n∈N^*時，bn=

3n-1

an

=

1

n

．
方法1：當n=1時，S21=1+

1

2

＞1；當n=2時，S22=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

＞2；
當n=3時，S23=1+

1

2

+

1

3

+

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

＜3．
猜想當n≥3時，S2n＜n．
下面用數學歸納法證明：
①當n=3時，由上可知S23 ＜3成立；
②假設：n=k（k≥3）時，上式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

＜k．
當n=k+1時，左邊=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＜k+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＜k+

2k

2k+1

＜k+1，
所以當n=k+1時成立．
由①②可知當n≥3，n∈N^*時，S2n＜n．
綜上所述：當n=1時，S21＞1；當n=2時，S22＞2；
當n≥3（n∈N^*）時，S2n＜n．
方法2：S2n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

記函數f(n)=S2n-n=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-n
所以f(n+1)=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1

)-(n+1)
則f(n+1)-f(n)=(

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+1

)-1＜

2n

2n+1

-1＜0
所以f（n+1）＜f（n）．
由于f(1)=S21-1=(1+

1

2

)-1＞0，此時S21＞1；
f(2)=S22-2=(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

)-2＞0，此時S22＞2；
f(3)=S23-3=(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

)-3＜0，此時S23＜3；
由于，f（n+1）＜f（n），故n≥3時，f（n）≤f（3）＜0，此時S2n＜n．
綜上所述：當n=1，2時，S2n＞n；當n≥3（n∈N^*）時，S2n＜n．
（3）cn=

an+1

n+1

=3n
當n≥2時，

2×3n

(3n-1)2

≤

2×3n

(3n-1)(3n-3)

=

2×3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

所以當n≥2時，Tn=

3

2

+

2×32

(32-1)2

+…+

2×3n

(3n-1)2

≤

3

2

+(

1

2

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=2-

1

3n-1

＜2．
且T1=

3

2

＜2故對n∈N^*，T_n＜2得證．

點評：本題第1問主要考查了用累加法求數列的通項．第2問主要考查了數學歸納證明，采用先猜想后證明的思維方式．第3問主要采用了放縮法及裂項法，難點在于放縮的把握放縮的方向和放縮的程度．總體來說第3問比較難．