Question

在二項式定理這節教材中有這樣一個性質：C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³+…C_nⁿ=2ⁿ，n∈N
（1）計算1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³的值方法如下：
設S=1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³又S=4•C₃³+3•C₃²+2•C₃¹+1•C₃⁰
相加得2S=5•C₃⁰+5•C₃¹+5•C₃²+5•C₃³即2S=5•2³
所以2S=5•2²=20利用類似方法求值：1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²，1•C₄⁰+2•C₄¹+3•C₄²+4•C₄³+5•C₄⁴
（2）將（1）的情況推廣到一般的結論，并給予證明
（3）設S_n是首項為a₁，公比為q的等比數列{a_n}的前n項的和，求S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+S₄C_n³+…+S_n+1C_nⁿ，n∈N．

Answer 1

（1）設S=1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²又S=3•C₂²+2•C₂¹+1•C₂⁰
相加2S=4（C₂⁰+C₂¹+C₂²）=16，S=8
設S=1•C₄⁰+2•C₄¹+3•C₄²+4•C₄³+5•C₄⁴
又S=5•C₄⁴+4•C₄³+3•C₄²+2•C₄¹+1•C₄⁰
相加2S=6（C₃⁰+C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴），∴S=3•2⁴=48
（2）1•C_n⁰+2•C_n¹+3•C_n²+…+（n+1）C_nⁿ=（n+2）•2^n-1
設S=1•C_n⁰+2•C_n¹+3•C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
又S=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1+…+1•C_n⁰
相加2S=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）∴S=

n+2

n

•2n=(n+2)•2n-1
（3）當q=1時  S_n=na₁S₁C_n⁰+S₂C_n¹+…+S_n+1C_nⁿ
=a₁C_n⁰+2a₁C_n¹+…+（n+1）a₁C_nⁿ
=a₁（1•C_n⁰+2•C_n¹+…+（n+1）C_nⁿ）
=a₁•（n+2）•2^n-1
當q≠1時    Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

-

a1

1-q

qn
S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+…+S_n+1C_nⁿ=(

a1

1-q

-

a1

1-q

q)

C

0n

+(

a1

1-q

-

a1

1-q

q2)

C

1n

+…+(

a1

1-q

-

a1

1-q

qn+1)

C

nn

=

a1

1-q

(

C

0n

+

C

1n

+…+

C

nn

)-

a1

1-q

(q

C

0n

+q2

C

1n

+…+qn+1

C

nn

)
=

a1

1-q

•2n-

a1

1-q

•q(

C

0n

•q0+

C

1n

•q1+…+

C

nn

qn)
=

a1

1-q

•2n-

a1

1-q

•q(1+q)n=

a1•2n

1-q

-

a1q(1+q)n

1-q

綜上，q=1時  S₁C_n⁰+…+S_n+1C_nⁿ=a₁（n+2）•2^n-1q≠1時S1

C

0n

+…+Sn+1

C

nn

=

a1•2n

1-q

-

a1q(1+q)n

1-q