Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，長軸長為，離心率為，經過其左焦點的直線交橢圓于、兩點（I）求橢圓的方程；
（II）在軸上是否存在一點，使得恒為常數？若存在，求出點的坐標和這個常數；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（I）設橢圓的方程為.
由題意，得，解得，所以.   …………………2分
所求的橢圓方程為.      …………………………………………………4分
（II）由（I）知. 假設在軸上存在一點，使得恒為常數
①當直線與軸不垂直時，設其方程為，、.
由得.   ……………………………5分
所以，.      ………………………………………6分



.
因為是與無關的常數，從而有，即.      ……………9分
此時.   …………………………………………………11分
②當直線與軸垂直時，此時點、的坐標分別為，
當時，亦有.    ……………………………13分
綜上，在軸上存在定點，使得恒為常數，且這個常數為.
……………………………14分

略