Question

已知△ABC的三邊長|CB|，|AB|，|CA|成等差數(shù)列，若點A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求頂點C的軌跡W的方程；
（Ⅱ）若線段CA的延長線交軌跡W于點D，當(dāng)2≤|CB|＜

5

2

時，求線段CD的垂直平分線l與x軸交點的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義求軌跡方程．
（2）設(shè)出直線AC方程，代入橢圓，據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出CD中點的坐標(biāo)，得到CD垂直平分線l的方程，令y=0，得l與x軸交點的橫坐標(biāo)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷解析式的單調(diào)性，據(jù)單調(diào)性得出l與x軸交點的橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答：解：
（Ⅰ）因為|CB|，|AB|，|CA|成等差數(shù)列，
點A、B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）
所以|CB|+|CA|=2|AB|=4且4＞|AB|
由橢圓的定義可知點C的軌跡是以A，B為焦點、長軸為4的橢圓（去掉長軸的端點），
所以a=2，c=1，b=

3

．
故頂點C的軌跡W方程為

x2

4

+

y2

3

=1 (y≠0)．（4分）
（Ⅱ）由題意可知直線AC的斜率存在，設(shè)直線AC方程為y=k（x+1）．
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

得 （3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)C，D兩點坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=

-8k2

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2+2)=

6k

3+4k2

，
所以線段CD中點E的坐標(biāo)為(

-4k2

3+4k2

，

3k

3+4k2

)，
故CD垂直平分線l的方程為y-

3k

3+4k2

=-

1

k

(x+

4k2

3+4k2

)，
令y=0，得l與x軸交點的橫坐標(biāo)為x=-

k2

3+4k2

=-

1

3 k2 +4

，
由2≤|CB|＜

5

2

得2≤

1

2

(4-x1)＜

5

2

，解得-1＜x₁≤0，
又因為k2=

y 2 1

(x1+1)2

=

12-3 x 2 1

4(x1+1)2

，所以(k2)′=

-3x1-12

2(x1+1)3

．
當(dāng)-1＜x₁≤0時，有(k2)′=

-3x1-12

2(x1+1)3

＜0，此時函數(shù)k2=

12-3 x 2 1

4(x1+1)2

遞減，
所以k²≥3．所以，-

1

4

＜-

1

3 k2 +4

≤-

1

5

．
故直線l與x軸交點的橫坐標(biāo)的范圍是(-

1

4

，-

1

5

]．（13分）

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、橢圓的定義，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用．