Question

【題目】已知圓M的方程為，直線l的方程為，點P在直線l上，過P點作圓M的切線，，切點為A，B.

（1）若，試求點P的坐標；

（2）求證：經過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標；

（3）設線段的中點為N，求點N的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）或（2）證明見解析；定點和（3）

【解析】

（1）設，由題可知，代入兩點間的距離公式可得，求解可得點的坐標；

（2）的中點，因為PA是圓M的切線，進而可知經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進而得到該圓的方程，根據其方程是關于m的恒等式，進而可求得x和y，得到結果；

（3）結合（2）將兩圓方程相減可得直線的方程，且得直線過定點，由幾何性質得，即點N在以為直徑的圓上，進而可得結果.

（1）設，因為是圓M的切線，，

所以，，

所以，解之得，，

故所求點P的坐標為或.

（2）的中點，

因為是圓M的切線，所以經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以為半徑的圓，

故其方程為：，

化簡得：，

此式是關于m的恒等式，故解得或.

所以經過A，P，M三點的圓必過定點和.

（3）由

可得：，即，

由可得過定點.

因為N為圓M的弦的中點，所以，即，

故點N在以為直徑的圓上，

點N的軌跡方程為.