Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設點在曲線上，直線交曲線于點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的極坐標方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）.

【解析】

（1）由可將曲線的方程化為極坐標方程，在曲線的極坐標方程兩邊平方得，由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）根據題意得出，，然后利用換元法和三角函數關系式的恒等變換并結合基本不等式可求出的最小值.

（1）將代入得，，

所以曲線的極坐標方程為.

曲線的方程可化為，

即，得，

所以的直角坐標方程為；

（2）由（1）及題設條件知，，，其中，

所以，令，

因為，所以，所以，

所以，

當且僅當，即，時等號成立.

所以的最小值為.