Question

設數列{a_n}的前項n和為S_n，若對于任意的正整數n都有S_n=2a_n-3n．
（1）設b_n=a_n+3，求證：數列{b_n}是等比數列．
（2）求數列{na_n}的前n項和T_n．
（3）若實數t使得an＜t4n恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n即可得到a_n+1=2a_n+3，轉化為a_n+1+3=2（a_n+3），利用等比數列的通項公式即可得出其通項；
（2）利用“錯位相減法”即可求和；
（3）由an＞t•4n，即t＞-

3

4n

+

3

2n

．令y=-

3

4n

+

3

2n

=-3(

1

2n

-

1

2

)2+

3

4

，利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-3n對于任意的正整數都成立，∴S_n+1=2a_n+1-3（n+1）
兩式相減，得S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，即a_n+1=2a_n+3，∴a_n+1+3=2（a_n+3）
由已知得 S₁=2a₁-3即a₁=2a₁-3，∴a₁=3
∴首項b₁=a₁+3=6，即bn=

an+1+3

an+3

=2對一切正整數都成立．
∴數列{b_n}是等比數列．∴bn=6•2n-1．∴an=6•2n-1-3=3•2n-3． 
（2）∵nan=3n•2n-3n，∴Tn=3(1×2+2×22+3×23+…+n•2n)-3（1+2+3+…+n）
∴2T_n=3（1×2²+2×2³+…+n•2ⁿ⁺¹）-6（1+2+3+…+n），
∴-Tn=3(2+22+…+2n)-3n•2n+1+

3n(n+1)

2

=3×

2(2n-1)

2-1

-6n•2ⁿ+

3n(n+1)

2

∴Tn=(6n-6)•2n+6-

3n(n+1)

2

（3）an＞t•4n，即t＞-

3

4n

+

3

2n

．
令y=-

3

4n

+

3

2n

=-3(

1

2n

-

1

2

)2+

3

4

，
∴ymax=

3

4

．
∴t＞

3

4

．

點評：本題綜合考查了“利用a_n+1=S_n+1-S_n求a_n”等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、“轉化法”、二次函數的單調性等基礎知識與基本方法，屬于難題．