Question

（2010•九江二模）已知曲線f(x)=

1

3

x3+

4

3

，(x∈R)，則過點P（2，f（2））的切線方程為（　　）

A．4x-y-4=0

B．x-y+2=0

C．8x-y-12=0或x-y+2=0

D．4x-y-4=0或x-y+2=0

Answer 1

分析：設出曲線過點P切線方程的切點坐標，把切點的橫坐標代入到導函數中即可表示出切線的斜率，然后利用點斜式表示出切線方程，將點P（2，4）代入可求出切點坐標，從而求出過點P（2，f（2））的切線方程．

解答：解：f（2）=4
設曲線 y=

1

3

x3+

4

3

與過點P（2，4）的切線相切于點A（x₀，

1

3

x03+

4

3

），
則切線的斜率 k=y′|x=x0=x02，
∴切線方程為y-（

1

3

x03+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即 y=

x

2 0

•x-

2

3

x

3 0

+

4

3

∵點P（2，4）在切線上，
∴4=2x₀²-

2

3

x03+

4

3

，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．
故選D．

點評：本題主要考查了學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”；同時解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標解決．