Question

【題目】已知拋物線，直線與E交于A、B兩點，且，其中O為原點.

（1）求拋物線E的方程；

（2）點C坐標為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明過程詳見解析.

【解析】試題分析：（1）將直線與拋物線聯立，消去y，得到關于x的方程，得到兩根之和、兩根之積，設出A、B的坐標，代入到中，化簡表達式，再將上述兩根之和兩根之積代入得到p，從而求出拋物線標準方程．（2）先利用點A，B，C的坐標求出直線CA、CB的斜率，再根據拋物線方程輪化參數y1，y2，得到k和x的關系式，將上一問中的兩根之和兩根之積代入，化簡表達式得到常數即可

試題解析：（Ⅰ）將代入 ，得．

其中

設， ，則， ．

．

由已知，，．所以拋物線的方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，．

，同理，

所以．