Question

【題目】已知函數.

(Ⅰ)當時，求函數的圖象在點(1， )處的切線方程；

(Ⅱ)討論函數的單調區間；

(Ⅲ)已知，對于函數圖象上任意不同的兩點，其中，直線的斜率為，記，若求證

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】【試題分析】（Ⅰ）由題設條件先求出函數導數，再借助導數的幾何意義求出切線的斜率；（Ⅱ）先求函數的導數再依據實數的取值范圍進行分類求出其單調區間；（Ⅲ）分別求出k= 和將問題轉化為證明，然后設再構造函數，最后借助導數知識推斷函數在內單調遞減，進而推得從而證得：

解析：(Ⅰ)當時,

又

函數的圖象在點(1， )處的切線方程為: ,

即

(Ⅱ) 的定義域為

當時， 在上恒成立， 在定義域內單調遞增；

當時，令解得，

則時， ， 單調遞增；

時， ， 單調遞減；

綜上， 時， 的單調遞增區間為；

時， 的單調遞增區間為，

的單調遞增區間為

（Ⅲ）證明：

，

又，

要證： ，只需證

即證： ，設

令則

令

對稱軸.

，故在內單調遞減，則；

故.