Question

在以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為（　　）
①|(zhì)

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|是

a

，

b

共線的充要條件；
②若

a

∥

b

，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使

a

=λ

b

；
③對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若

OP

=2

OA

-2

OB

-

OC

，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；
④若{

a

，

b

，

c

}為空間的一個(gè)基底，則{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；
⑤|（

a

•

b

）•

c

|=|

a

|•|

b

|•|

c

|．

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：利用不等式|

a

|-|

b

|≤|

a

+

b

|等號(hào)成立的條件判斷①即可；
利用

0

與任意向量共線，來判斷②是否正確；
利用共面向量定理判斷③是否正確；
根據(jù)不共面的三個(gè)向量可構(gòu)成空間一個(gè)基底，結(jié)合共面向量定理，用反證法證明即可；
代入向量數(shù)量積公式驗(yàn)證即可．

解答：解：對(duì)①，∵向量

a

、

b

同向時(shí)，|

a

|-|

b

|≠|(zhì)

a

+

b

|，∴只滿足充分性，不滿足必要性，∴①錯(cuò)誤；
對(duì)②，當(dāng)

a

為零向量時(shí)，λ不唯一，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)③，∵2-2-1=-1≠1，根據(jù)共面向量定理P、A、B、C四點(diǎn)不共面，故③錯(cuò)誤；
對(duì)④，用反證法，若{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}不構(gòu)成空間的一個(gè)基底；
設(shè)

a

+

b

=x(

b

+

c

)+(1-x)(

c

+

a

)⇒x

a

=（x-1）

b

+

c

⇒

c

=x

a

+（1-x）

b

，即

a

，

b

，

c

共面，∵{

a

，

b

，

c

}為空間的一個(gè)基底，∴④正確；
對(duì)⑤，∵|（

a

•

b

）•

c

|=|

a

|×|

b

|×|cos＜

a

，

b

＞|×|

c

|≤|

a

||

b

||

c

|，∴⑤錯(cuò)誤．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題借助考查命題的真假判斷，考查空間向量的共線向量定理、共面向量定理及向量的數(shù)量積公式．