Question

如圖1所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3．過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD與直線l、圓O分別交于點D、E．
（1）求∠DAC的大小及線段AE的長；
（2）如圖2所示，將△ACD沿AC折起，點D折至點P處，且使得△ACP所在平面與圓O所在平面垂直，連接BP，求二面角P-AB-C大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接OC，則OC∥AD，根據Rt△AEB≌Rt△BCA，即可求出AE的值；
（2）過P作PH⊥AC于H，過H作HF⊥AB于F，連接PF，則PF⊥AB，故∠PFH為二面角P-AB-C的平面角，在Rt△APC中，求出PH，根據勾股定理求出AH，在Rt△AFH中，求出∠PFH的余弦值．

解答：解：（1）連接OC，則OC∥AD，CB=OB=OC，
∴∠COB=∠EAO=60°，∠CAO=30°，
∴Rt△AEB≌Rt△BCA，
∴CB=AE=3．（5分）
（2）過P作PH⊥AC于H，由于平面PAC⊥平面⊙O，則PH⊥平面⊙O．
過H作HF⊥AB于F，連接PF，則PF⊥AB，故∠PFH為二面角P-AB-C的平面角．（8分）
在Rt△APC中，PH=AP•sin30°=AC•cos30°•sin30°=3

3

×

3

2

×

1

2

=

9

4

，
AP²=AH•AC得AH=

AP2

AC

=

9 3

4

，
在Rt△AFH中，FH=AHsin30°=

9 3

8

，
故tan∠PFH=

PH

PF

=

9 4

9 3 8

=

2 3

3

．故cos∠PFH=

21

7

．（12分）

點評：本題主要考查了與二面角有關的立體幾何綜合題，考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力．