Question

已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1
（1）求曲線C的方程.
（2）是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有?若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）設P（x，y）是曲線C上任意一點，那么點P（x，y）滿足：

化簡得.
(Ⅱ)設過點M（m，0）（m>0）的直線l與曲線C的交點為A，B。
設l的方程為x=ty+m，由得，△=16（+m）>0，
于是①
又。
=+1+<0②
又，于是不等式②等價于

③
由①式，不等式③等價于
④
對任意實數t，的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于
，即。
由此可知，存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有，且m的取值范圍。

(1)由題意知曲線C上的點到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等.
可確定其軌跡是拋物線，即可求出其方程為y²=4x.
(2)設過點M的直線方程為x=ty+m,然后與拋物線方程聯立，消去x,利用韋達定理表示出,再證明其小于零即可.