Question

已知數列{a_n}，a_n∈N^*，前n項和S_n=（a_n+2）²．
（1）求證：{a_n}是等差數列；
（2）若b_n=a_n﹣30，求數列{b_n}的前n項和的最小值．

Answer 1

解：（1）證明：∵a_n+1
=S_n+1﹣S_n
=（a_n+1+2）²﹣（a_n+2）²，
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²﹣（a_n+2）²，
∴（a_n+1﹣2）²﹣（a_n+2）²=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1﹣a_n﹣4）=0．
∵a_n∈N^*，∴a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1﹣a_n﹣4=0．
即a_n+1﹣a_n=4，∴數列{a_n}是等差數列．
（2）由（1）知a₁=S₁=（a₁+2），解得a₁=2．∴a_n=4n﹣2，
b_n=a_n﹣30=2n﹣31，（以下用兩種方法求解）
法一：
由b_n=2n﹣31可得：首項b₁=﹣29，公差d=2
∴數列{b_n}的前n項和s_n=n²﹣30n=（n﹣15）²﹣225
∴當n=15時，s_n=225為最小；
法二：
由得
≤n＜．∵n∈N^*，∴n=15，
∴{a_n}前15項為負值，以后各項均為正值．
∴S_5最小．又b₁=﹣29，
∴S₁₅==﹣225

略