Question

在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產品中任取3件，求：
（I）取出的3件產品中一等品件數X的分布列和數學期望；
（II）取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是從10件產品中任取3件的結果為C₁₀³，滿足條件的事件是從10件產品中任取3件，其中恰有k件一等品的結果數為C₃^kC₇^3-k，寫出概率，分布列和期望．
（II）取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數包括三種情況，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，這三種情況是互斥的，根據互斥事件的概率，得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，
由于從10件產品中任取3件的結果為C₁₀³，
從10件產品中任取3件，其中恰有k件一等品的結果數為C₃^kC₇^3-k，
那么從10件產品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P（X=k）=

C k 3 C 3-k 7

C 3 10

，k=0，1，2，3．
∴隨機變量X的分布列是

x	0	1	2	3
p	7 24	21 40	7 40	1 120

∴X的數學期望EX=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

（Ⅱ）解：設“取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數”為事件A，
“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A₁
“恰好取出2件一等品“為事件A₂，
”恰好取出3件一等品”為事件A₃由于事件A₁，A₂，A₃彼此互斥，
且A=A₁∪A₂∪A₃而P(A1)

C 1 3 C 2 3

C 3 10

=

3

40

，
P（A₂）=P（X=2）=

7

40

，P（A3）=P（X=3）=

1

120

，
∴取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率為
P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=

3

40

+

7

40

+

1

120

=

31

120

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的類型題目．