Question

．本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．

(1)（選修4—2 矩陣與變換）（本小題滿分7分）

已知矩陣 ，向量．

(Ⅰ) 求矩陣的特征值、和特征向量、；

（Ⅱ）求的值．

(2)（選修4—4 參數方程與極坐標）（本小題滿分7分）

在極坐標系中,過曲線外的一點(其中為銳角)作平行于的直線與曲線分別交于．

(Ⅰ) 寫出曲線和直線的普通方程(以極點為原點,極軸為軸的正半軸建系)； 

（Ⅱ）若成等比數列,求的值．

(3)（選修4—5 不等式證明選講）（本小題滿分7分）

已知正實數、、滿足條件，

(Ⅰ) 求證：；

（Ⅱ）若，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

⑴矩陣與變換

解：(Ⅰ)矩陣的特征多項式為  ，

令，得,

當時，得,當時，得. ………………………3分

（Ⅱ）由得，得.

∴

                 .………………………7分

⑵參數方程與極坐標

解：(Ⅰ) ………………………3分

（Ⅱ）直線的參數方程為(為參數),代入得到

,則有

因為,所以

解得 ………………………7分

⑶不等式證明選講

解：(Ⅰ)由柯西不等式得

代入已知    a+b+c=3

   

當且僅當   a=b=c=1，取等號。………………………3分

（Ⅱ）由得，若，則，，

所以，，當且僅當   a=b= 1時，有最大值1。………………………7分

 

【解析】略