Question

如圖，在半徑為

3

、圓心角為60°的扇形的弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點（N，M）在OB上，設矩形PNMQ的面積為y，
（1）按下列要求寫出函數的關系式：
 ①設PN=x，將y表示成x的函數關系式；
 ②設∠POB=θ，將y表示成θ的函數關系式；
（2）請你選用（1）中的一個函數關系式，求出y的最大值．

Answer 1

分析：（ 1）①通過求出矩形的邊長，求出面積的表達式；
     ②利用三角函數的關系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達式；
（2）利用（1）②的表達式，化為一個角的一個三角函數的形式，根據θ的范圍確定矩形面積的最大值．

解答：解：（1）①因為ON=

3-x2

，OM=

3

3

x，所以MN=

3-x2

-

3

3

x，（2分）
所以y=x（

3-x2

-

3

3

x）   x∈（0，

3

2

）．（4分）
②因為PN=

3

sinθ，ON=

3

cosθ，OM=

3

3

×

3

sinθ =sinθ，
所以MN=ON-OM=

3

cosθ-sinθ（6分）
所以y=

3

sinθ(

3

cosθ-sinθ)，
即y=3sinθcosθ-

3

sin²θ，θ∈（0，

π

3

）（8分）
（2）選擇y=3sinθcosθ-

3

sin²θ=

3

sin（2θ+

π

6

）-

3

2

，（12分）
∵θ∈（0，

π

3

）∴2θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)（13分）
所以ymax=

3

2

．（14分）

點評：本題是中檔題，考查函數解析式的求法，三角函數的最值的確定，三角函數公式的靈活運應，考查計算能力，課本題目的延伸．如果選擇①需要應用導數求解，麻煩，不是命題者的本意．