Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx在x=2處取得極值4，且其導函數y=f′（x）的圖象經過坐標原點．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[-3，3]，求y=f（x）的值域．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，由已知條件得

f′(2)=12a+4b+c=0 f(2)=8a+4b+2c=4 c=0

，由此能求出f（x）=-x³+3x²．
（2）f′（x）=-3x²+6x，令f′（x）=0，得x=0，或x=2，由此能求出y=f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵在x=2處取得極值4，且其導函數y=f′（x）的圖象經過坐標原點，
∴

f′(2)=12a+4b+c=0 f(2)=8a+4b+2c=4 c=0

，解得a=-1，b=3，c=0．
∴f（x）=-x³+3x²．（7分）
（2）∵f′（x）=-3x²+6x，
∴令f′（x）=0，得x=0，或x=2，
∵f（-3）=27+27=54，
f（0）=0，
f（2）=-8+12=4，
f（3）=-27+27=0，
∴y=f（x）的值域為[0，54]．（14分

點評：本題考查函數的值域的求法，考查函數的解析式的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．