Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB=90??，AB//CD，AD=CD=2AB，E、F分別為PC、CD的中點。

（1）證明：CD⊥平面BEF；

（2）設PA=k·AB且二面角E-BD-C的平面角大于30??，求k的取值范圍。

Answer 1

（1）證明見解析。

（2）

解析:

（1）如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系。

設AB=a，則易知點A、B、C、D、F的坐標分別為A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0），D(0，2a，0),F(a，2a，0)，從而

。

設PA=b，則P（0，0，b），而E為PC的中點，故E（a，a，），

從而，。

由此得CD⊥面BEF。

（2）設E在xOy平面上的投影為G，作G作DH⊥BD，垂足為H。

由三垂線定理知EH⊥BD，從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角。

由PA=k·AB得P（0，0，ka），E，G。

設H（x，y，0），則，

由得-a(x-a)+2a(y-a)=0，即x-2y=-a  ①，

又因為且的方向相同，

故，即2x+y=2a。

由①②解得

由k>0知∠EHG是銳角，由∠EHG>30??，得tanEHG>tan30??，即。