Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

3

2

，點A是橢圓上的一點，且點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）為橢圓C上一動點，直線L：mx+4ny-4=0與圓C′：x²+y²=4相交于A、B兩點，求三角形OAB面積的最大值及此時直線L的方程．

Answer 1

分析：（1）依題意可求得a=2，再利用其離心率e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

可求得b，從而可求得橢圓C的方程；
（2）設圓心O到直線L的距離為d，可求得d=

4

4+12n2

，結合n∈（0，1]，可求得d的范圍；利用基本不等式可求得S_△OAB最大值為2，繼而可得n，m的值，從而可求得直線L的方程．

解答：解：（1）由橢圓定義知2a=4，
∴a=2，又e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

得b=1，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+y²=1．
（2）設圓心O到直線L的距離為d，則d=

4

m2+(4n)2

，又有

m2

4

+n²=1，
所以d=

4

m2+(4n)2

=

4

4+12n2

，又n∈（0，1]，
∴d∈[1，2），
S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

4-d2

•d=

d2(4-d2)

≤

( d2+4-d2 2 )2

=2（當d²=4-d²即d=

2

時S_△OAB最大），
∴S_△OAB最大值為2，
d=

2

⇒

4

4+12n2

=

2

，n＞0，
∴n=

3

3

，
m²=4-4n²=

8

3

，又m＞0，
∴m=

2 6

3

．
所以直線L的方程為

2 6

3

x+

4 3

3

y-12=0，即x+

2

y-3

6

=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，突出考查基本不等式的應用，考查分析、運算的能力，屬于難題．