Question

若a是實常數，函數f（x）對于任何的非零實數x都有f(

1

x

)=af(x)-x-1，且f（1）=1，則函數F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范圍是

[

1

2

+

3

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：利用題中函數等式，以

1

x

代替x得f(x)=af(

1

x

)-

1

x

-1，與原式聯解得到(a2-1)f(x)=ax+

1

x

+a+1，結合f（1）=1解出f（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

．由此得到不等式f（x）≥x即

3x

8

+

1

8x

+

1

2

≥x，解之得x∈（0，1]，函數即為F（x）=f（x）的定義域D．最后利用基本不等式，求F（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，x∈（0，1]時的最小值，即可得到本題的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）滿足f(

1

x

)=af(x)-x-1，（x≠0）
∴以

1

x

代替x，得f(x)=af(

1

x

)-

1

x

-1，
兩式聯解，得(a2-1)f(x)=ax+

1

x

+a+1
∵f（1）=1，∴令x=1，得a²-1=a+1+a+1，解之得a=3或-1（-1不符合題意，舍去）
因此，f（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，不等式f（x）≥x即

3x

8

+

1

8x

+

1

2

≥x
化簡得5x²-4x-1≤0，解之得-

1

5

≤x≤1
∴集合D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}=（0，1]
而F（x）=f（x），即F（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，x∈（0，1]
∵x＞0，可得

3x

8

+

1

8x

≥2

3x 8 × 1 8x

=

3

4

∴F（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

的最小值為

1

2

+

3

4

，當且僅當

3x

8

=

1

8x

=

3

8

，即x=

3

3

時取最小值
綜上所述，F（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，x∈（0，1]的最小值是f（

3

3

）=

1

2

+

3

4

，沒有最大值．
∴函數F（x）=f（x）（x∈D}）的取值范圍是[

1

2

+

3

4

，+∞)
故答案為：[

1

2

+

3

4

，+∞)

點評：本題給出函數等式，在已知f（1）=1的情況下求函數的表達式，并依此求函數F（x）=f（x）在區間（0，1]上的值域．著重考查了函數解析式的求法、一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．