Question

【題目】已知正四棱錐的全面積為2，記正四棱錐的高為h．

（1）用h表示底面邊長，并求正四棱錐體積V的最大值；

（2）當V取最大值時，求異面直線AB和PD所成角的大小．結果用反三角函數值表示

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）設底面邊長為，側面三角形高為，由全面積構造方程可求得，利用可構造方程求得；根據三棱錐體積公式得到，結合基本不等式可求得體積的最大值；

（2）取中點，由平行關系知即為所求角；根據（1）中結論可知的值，進而可求得，從而得到結果.

（1）設底面邊長為，側面三角形的高為，則

又，即

（當且僅當，即時取等號）

，即（當，時取最大值）

（2）取中點，正方形中心，連接

即為異面直線與所成角

為中點， ，即

由（1）知，

又

即異面直線與所成角的大小為：